गूगल के AI ने 56 साल से अनसुलझे गणित के सवाल कुछ सौ डॉलर में हल कर दिए

गूगल डीपमाइंड की एक शोध प्रणाली ने गणितज्ञ पॉल एर्डोश (Paul Erdős) के रखे नौ खुले सवालों के लिए मशीन से जाँचे गए पूरे प्रमाण तैयार किए, जिनमें दो 56 साल से अनसुलझे थे। उसी प्रणाली ने पूर्णांक अनुक्रमों के ऑनलाइन विश्वकोश से लिए 44 अनुमान निपटाए, बीजगणितीय ज्यामिति का 15 साल पुराना सवाल बंद किया और उत्तल अनुकूलन में एक ज्ञात सीमा को कसा। चौंकाने वाली संख्या से ज़्यादा अहम है तरीका। इनमें से हर प्रमाण को मशीन ने सिर्फ़ दावा नहीं किया, बल्कि जाँचा भी।

1996 में गुज़रे एर्डोश सैकड़ों सटीक और ज़िद्दी सवाल छोड़ गए, जिनमें से कई कहने में आसान पर निपटाने में बेहद कठिन हैं। दशकों में ये इस क्षेत्र की एक स्थायी परीक्षा जैसे बन गए। अनुक्रम के अनुमान एक सार्वजनिक डेटाबेस से आते हैं जिसमें गणितज्ञ पैटर्न खोजते हैं, और जहाँ अनुमान से निकला कोई सूत्र वर्षों तक बिना प्रमाण पड़ा रह सकता है। ये किसी मॉडल को रिझाने के लिए गढ़े गए परीक्षण नहीं हैं। ये खुली गणित का असली बकाया हैं।

यही फ़र्क पूरी कहानी है। AlphaProof Nexus नाम की यह प्रणाली अपने तर्क Lean में लिखती है, एक औपचारिक भाषा जिसका कंपाइलर हर उस कदम को ठुकरा देता है जिसकी वह पुष्टि नहीं कर सकता। प्रमाण या तो पास होता है या नहीं, किसी ऐसे आत्मविश्वासी अनुच्छेद की गुंजाइश नहीं जो बाद में ग़लत निकले। जो यह परखना चाहता है कि AI की कोई ‘खोज’ सचमुच है या नहीं, उसके लिए यही प्रेस विज्ञप्ति और नतीजे के बीच की रेखा है।

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भीतर, प्रमाणक Gemini 3.1 Pro पर चलता है, और एक हल्का मॉडल क्रम तय करने का काम सँभालता है। यह चक्र लगभग उबाऊ है। मॉडल Lean में प्रमाण का मसौदा बनाता है, कंपाइलर त्रुटियाँ लौटाता है, और वही त्रुटियाँ अगली कोशिश में जाती हैं। ईमानदारी बहती गद्य से नहीं, प्रतीकात्मक प्रतिक्रिया से बनी रहती है। टीम ने बढ़ती जटिलता के चार संस्करण बनाए, जिनमें एक प्रतिस्पर्धी प्रमाण-खाके बनाकर उन्हें क्रम देता है। फिर भी सबसे सरल संस्करण, सिर्फ़ मॉडल और कंपाइलर का चक्र, अकेले ही नौ एर्डोश सवाल हल कर गया।

चुपचाप चौंकाने वाला हिस्सा है इसकी लागत। हर हल हुए सवाल पर गणना-समय में कुछ सौ डॉलर लगे। जिन सवालों ने पूरे करियर खा लिए, वे लगभग एक सप्ताहांत की सैर की कीमत में बंद हो गए। इससे गणितज्ञ सेवानिवृत्त नहीं होता। फिर भी किसी को चुनना होगा कि किन सवालों पर हमला करने लायक है, उन्हें ऐसी शक्ल में रखना होगा जिसे प्रणाली पढ़ सके, और तय करना होगा कि जवाब का मतलब क्या है। जो बदलता है, वह यह गणित है कि आख़िर कोशिश के लायक क्या है।

चेतावनियाँ सुर्ख़ी से भारी हैं। आज़माए गए 353 एर्डोश सवालों में से नौ का हल लगभग 2.5 प्रतिशत की सफलता दर है। अनुक्रमों का आँकड़ा, 492 में 44, नौ प्रतिशत से नीचे है। लेखक बेझिझक मानते हैं कि इनमें से ज़्यादातर सवाल अब भी पहुँच से बाहर हैं, और जो विस्तृत नई थ्योरी माँगते हैं वे तो और भी, तथा सफलताएँ वहीं जमा होती हैं जहाँ Lean का गणित-पुस्तकालय पहले से गहरा है। इंसानों के बनाए उस ढाँचे और चुने हुए लक्ष्यों की सूची को हटा दें, तो प्रणाली के पास टिकने को बहुत कम बचता है।

यह सावधानी हक़ की है। एक ख़ूब मज़ाक उड़ाए गए प्रसंग में, एक प्रतिद्वंद्वी प्रयोगशाला ने घोषणा की कि उसके मॉडल ने दस एर्डोश सवाल हल कर दिए, जब तक गणितज्ञों ने नहीं बताया कि जवाब तो पहले से प्रकाशित साहित्य में मौजूद थे। मॉडल ने उन्हें ढूँढा था, सिद्ध नहीं किया था। AlphaProof Nexus इसी ग़लती से बचने के लिए बना है। किसी ज्ञात नतीजे का Lean प्रमाण भी वैध प्रमाण है, और किसी सचमुच नई चीज़ का Lean प्रमाण गढ़ा नहीं जा सकता। डीपमाइंड के मुखिया डेमिस हसाबिस (Demis Hassabis) ने ख़ास तौर पर कहा कि यह काम सामान्य कृत्रिम बुद्धिमत्ता नहीं है, अपने मॉडलों को लेकर कम ही संकोची रहने वाली कंपनी के लिए असामान्य रूप से सतर्क टिप्पणी।

शोधकर्ता एक और सूक्ष्म लाभ रेखांकित करते हैं। नाकामियाँ तक काम आईं। चूँकि हर आंशिक प्रमाण औपचारिक रूप से जाँचा जाता है, गणितज्ञ पूरे तर्क को हाथ से दुबारा जाँचे बिना ठीक-ठीक देख सके कि प्रणाली कौन-से उप-लक्ष्य बंद कर पाई और कौन-से नहीं। मशीन कोई आकाशवाणी नहीं रह जाती, बल्कि एक अथक सहयोगी बन जाती है जो अपना काम दिखाती है और बताती है कि कठिन हिस्सा अब भी कहाँ छिपा है।

यह नतीजा अकेला नहीं है। यह एक प्रतिद्वंद्वी तर्क-मॉडल के अलग दावे के साथ ही उसी दौर में आता है, जिसके बारे में कहा गया कि उसने असतत ज्यामिति में लगभग 80 साल पुराने एक एर्डोश अनुमान को ग़लत साबित किया, और इस निष्कर्ष को सक्रिय गणितज्ञों ने सँवारा और समर्थन दिया। दो प्रयोगशालाएँ, दो तरीके, एक औपचारिक सत्यापन पर टिका और दूसरा कच्ची तर्क-शृंखलाओं पर, कुछ ही हफ़्तों के अंतर पर एक ही मोर्चे पर पहुँचे। मुक़ाबला अब उन चैटबॉट्स का नहीं रहा जो चतुर सुनाई देते हैं।

यह काम इस महीने प्रकाशित एक शोधपत्र में विस्तार से दिया गया, और तरीके खुले औज़ारों पर टिके हैं, यानी Lean और उसका समुदाय-निर्मित पुस्तकालय, ताकि बाहरी समूह किसी कंपनी के ब्लॉग पर भरोसा करने के बजाय प्रमाणों की जाँच कर सकें और उन्हें दुबारा चला सकें। डीपमाइंड ने नहीं बताया कि यह प्रणाली कंपनी के बाहर के शोधकर्ताओं तक पहुँचेगी या नहीं। नज़र रखने लायक संख्या नौ नहीं है। बात यह है कि वह 2.5 प्रतिशत दस बनता है या नहीं, फिर बीस, क्योंकि जिस दिन ऐसा होगा, इन मशीनों के मक़सद पर बहस को शुरू से शुरू करना पड़ेगा।

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